Funkce

Zobrazení množiny M do množiny reálných čísel
Předpis, který každému prvku z množiny M je podmnožina R přiřadí právě jedno reálné číslo
M – definiční obor funkce
Funkci zadáváme – výčtem prvků, předpisem, grafem
Definiční obor – taková množina reálných čísel x, ke kterým existuje právě jedno reálné y
Obor hodnot – taková množina reálných čísel y, ke kterým existuje alespoň jedno reálné x
Sudá funkce – je-li x prvkem definičního oboru funkce a zároveň –x je prvkem d.o. funkce, tak pro každé x platí, že funkční hodnota v bodě x je funkční hodnota v bodě –x
Graf sudé funkce je osově souměrný podle osy y
Lichá funkce – je-li x prvkem definičního oboru funkce a zároveň –x je prvkem d.o. funkce, tak pro každé x platí, že funkční hodnota v bodě x je záporná funkční hodnota v bodě x
Graf liché funkce je středově souměrný podle počátku
Funkce je rostoucí na množině M právě tehdy, když každé x1 < x2 a funkční hodnota x1 < x2
Funkce je klesající na množině M právě tehdy, když každé x1 < x2 a funkční hodnota x1 > x2
Pokud je funkce rostoucí nebo klesající, je monotónní
Funkce je prostá právě tehdy když x1 ≠ x2 a funkční hodnota x1 ≠ x2
Je-li funkce rostoucí nebo klesající na množině M, pak je funkce prostá
Funkce je omezená shora v množině M, právě tehdy, když existuje reálné h, kdy každé x je prvkem množiny M a funkční hodnota x je menší rovno h
Funkce je omezená zdola v množině M, právě tehdy, když existuje reálné d, kdy každé x je prvkem množiny M a funkční hodnota x je větší rovno d
Funkce je omezená v M právě tehdy, když je omezená shora a zároveň zdola v množině M
Funkce má v M maximum v bodě a právě tehdy, když každé x je prvkem M a funkční hodnota x je menší rovno funkční hodnotě a
Funkce má v M minimum v bodě b právě tehdy, když každé x je prvkem M a funkční hodnota x je větší rovno funkční hodnotě b

Lineární funkce

Lineární funkcí nazveme každou funkci, která je dána předpisem y = ax + b
Směrnice přímky – a, průsečík grafu funkce s osou y – b
Je-li a = 0, tak je y = b, vznikne konstantní funkce
Je-li b = 0, tak je y = ax, vznikne přímá úměrnost
Konstantní funkce – sudá, omezená, maximum a minimum ve všech bodech
Je-li a > 0 – rostoucí prostá funkce (pokud b = 0, tak lichá funkce)
Je-li a < 0 – klesající prostá funkce
Tvorba grafu – určíme nulové body, rozdělíme obor na intervaly, řešíme na každém intervalu

Kvadratická funkce

Kvadratickou funkcí nazveme každou funkci, která je dána předpisem y = ax² + bx + c
Grafem parabola
Nejjednodušší – y = ax²
Je-li a > 0 – sudá, omezená zdola, minimum v bodě 0
Je-li a < 0 – sudá, omezená shora, maximum v bodě 0
Je-li y = x² + c – parabola se posune o c bodů nahoru nebo dolů
Je-li y = (x – k)² – parabola se posune o k bodů vlevo nebo vpravo
Je-li y = (x – k)² + m – parabola se posune o k vlevo nebo vpravo a o m nahoru nebo dolů
Vrchol paraboly je v bodě [k, m]
Užití kvadratických funkcí – řešení kvadratických nerovnic, řešení slovních úloh

Nepřímá úměrnost

Nepřímou úměrností nazveme každou funkci, která je dána předpisem y = k/x
Grafem hyperbola
Je-li k > 0 – lichá, klesající na dvou intervalech, v I. a III. kvadrantu
Je-li k < 0 – lichá, rostoucí na dvou intervalech, v II. a IV. kvadrantu

Lineární lomená funkce

Lineární lomenou funkcí nazveme každou funkci, která je dána předpisem y = (ax + b)/(cx + d)
Grafem hyperbola

Mocninné funkce

s přirozeným exponentem

y = xⁿ
Je-li n = 1, tak y = x (lineární funkce)
Je-li n = 2, tak y = x² (kvadratická funkce)
Je-li n liché – lichá, rostoucí funkce
Je-li n sudé – sudá, parabola, omezená zdola, minimum v bodě 0

s celým exponentem

y = x^-n = 1/xⁿ
Je-li n = 0, tak y = 1 (konstantní funkce)
Je-li n = -1, tak y = 1/x (nepřímá úměrnost)
Je-li n liché – lichá, hyperbola, klesající na dvou intervalech, v I. a III. kvadrantu
Je-li n sudé – sudá, hyperbola, v I. a II. kvadrantu

Inverzní funkce

Množina f^-1 je inverzní funkcí k funkci f právě tehdy, když f je prostá funkce
Definiční obor inverzní funkce je obor hodnot normální funkce
Obor hodnot inverzní funkce je definiční obor normální funkce
Grafy inverzní a normální funkce jsou souměrně sdružené podle osy I. a III. kvadrantu
Výpočet ze vzorce normální funkce – v zadání zaměníme x za y, z rovnice vyjádříme y

Odmocnina

N-tou odmocninou z nezáporného čísla x nazveme to nezáporné číslo y, pro které platí yⁿ = x
N-tou odmocninu lze definovat jako inverzní funkci k funkci mocninné
N-té odmocniny budeme počítat pouze z nezáporných čísel

Mocniny s racionálním exponentem

Racionální číslo lze zapsat ve zlomku p/q
a ^p/q = ^q√a^p

Exponenciální funkce

Exponenciální funkcí nazveme každou funkci, která je dána předpisem y = a^x
Je-li 0 < a < 1, tak je funkce klesající
Je-li a >1, tak je funkce rostoucí

Exponenciální rovnice

a^x = b
Upravujeme, aby na obou stranách byly mocniny o stejném základu
Při těžších příkladech použijeme metodu substituce

Logaritmická funkce

Logaritmickou funkcí nazveme každou inverzní funkci k funkci exponenciální
y = log_ax
Je-li 0 < a < 1, tak je funkce klesající
Je-li a >1, tak je funkce rostoucí

Logaritmus

Logaritmus čísla r o základu a je takové číslo, kterým umocníme základ, abychom dostali r
log_ar = v, a^v = r
log_a(r*s) = log_ar + log_as
log_a(r/s) = log_ar – log_as
log_ar^s = s*log_ar
Dekadický logaritmus – logaritmu o základu 10, log x
Přirozený logaritmus – logaritmus o základu e (e = Eulerovo číslo 2,718), log_ex = ln x
log_rt = log_st/log_sr

Logaritmické rovnice

Pomocí vět o logaritmech upravíme rovnici tak, abychom na obou stranách dostali logaritmy určitých výrazů, po ukončení děláme zkoušku
Pomocí substituce převedeme na kvadratickou rovnici
S neznámou v exponentu – celou rovnici zlogaritmujeme

Navštivte také

Slovník
Anglicko-český slovník a česko-anglický slovník
Německo-český slovník a česko-německý slovník
Španělsko-český slovník a česko-španělský slovník
Slovensko-český slovník a česko-slovenský slovník