Ceskecasinoonline.cz

České kasino online hry zdarma.

Komplexní čísla

C – množina komplexních čísel
i – imaginární jednotka
i2 = -1
Algebraický tvar komplexního čísla a + bi (reálná a imaginární část)
Jestliže a = 0, tak z = bi (ryze imaginární)
Operace, kdy z1 = a + bi, z2 = c + di
Sčítání – (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
Násobení – (a + bi) * (c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i
Podíl – (a + bi)/(c + di) = (ac + bd)/(c2 + d2) + [(bc – ad)/(c2 + d2)]i
Rovnost – dvě komplexní čísla se rovnají, právě když se rovnají reálné i imaginární části
Neutrálním prvkem pro sčítání je 0 a pro násobení 1
Opačné komplexní číslo – z' = – a – bi
Převrácené komplexní číslo – z' = a/(a2 + b2) – [b/(a2 + b2)]i
Číslo komplexně sdružené = a – bi
Mocniny – i4k = 1, i4k + 1 = i, i4k + 2 = -1, i4k + 3 = -i
Absolutní hodnota – |z| = √(a2 + b2)
Komplexní jednotka – každé komplexní číslo, jehož absolutní hodnota je rovna 1
Komplexní čísla nelze uspořádat podle velikosti
Součet čtverců (x2 + y2) lze rozložit na součin (x + yi) * (x – yi)
a2 ≠ |a|2

Geometrické znázornění

Obrazem bod roviny (Gaussova rovina komplexních čísel)
Komplexní číslo a číslo komplexně sdružené jsou souměrné podle reálné osy
Komplexní číslo a opačné komplexní číslo jsou souměrné podle počátku
Absolutní hodnota komplexního čísla – vzdálenost od počátku
Pokud je absolutní hodnota rovna r – kružnice se středem v počátku a poloměrem r
Goniometrický tvar komplexního čísla – z = |z| * (cosφ + i * sinφ), cosφ = a/|z|, sinφ = b/|z|
Součin z1 * z2 = |z1| * |z2| * (cos(φ1 + φ2) + i * sin(φ1 + φ2))
Podíl z1/z2 = |z1|/|z2| * (cos(φ1 – φ2) + i * sin(φ1 – φ2))
Moivreova věta – zn = |z|n * (cos(n * φ) + i * sin(n * φ))
Binomická věta (cosx + i * sinx)2 = cos2x + 2i * cosx * sinx + i2 * sin2x – sin2x

Rovnice v oboru komplexních čísel

Kvadratické rovnice s reálnými koeficienty – ax2 + bx + c = 0
Když je diskriminant větší než 0 – K = {(-b+√D)/2a, (-b-√D)/2a}
Když je diskriminant rovný 0 – K = {-b/2a}
Když je diskriminant menší než 0 – K = {(-b+i√-D)/2a, (-b-i√-D)/2a}
Binomická rovnice x2 – a = 0
|x| = n√|a|, φ = (α + 2kπ)/n, různá řešení k = 0, 1, …, n – 1
Kořeny binomické rovnice leží v Gaussově rovině na kružnici o poloměru n√|a| a tvoří vrcholy pravidelného n-úhelníku xk = n√|a| * (cos((α + 2kπ)/n) + i * sin((α + 2kπ)/n))

Navštivte také

Slovník
Anglicko-český slovník a česko-anglický slovník
Německo-český slovník a česko-německý slovník
Španělsko-český slovník a česko-španělský slovník
Slovensko-český slovník a česko-slovenský slovník